असमताओं के प्रश्नों को हल करने के लिए, विवरणों पर चर्चा करने से पहले, आइये हम नीचे तालिका में दिए गए निश्चित प्रतीकों का अर्थ देखते हैं:–
> ≥ =
उदा. के लिए- यदि T>P≥Q=R
तो, T> Q और T>R
< ≤ =
उदा. के लिए- यदि W<X≤V=Y
तो, W<Y और W<V
> < (कोई संबंध नहीं)
उदा. के लिए- यदि Q>K<L
तो Q और L के बीच कोई संबंध नहीं होगा।
> ≤ (कोई संबंध नहीं)
उदा. के लिए- यदि O>J≤H
तो O और H के बीच कोई संबंध नहीं होगा।
< > (कोई संबंध नहीं)
उदा. के लिए- यदि F<E>Q
तो F और Q के बीच कोई संबंध नहीं होगा।
< ≥ (कोई संबंध नहीं)
उदा. के लिए- यदि D<S≥Z
तो D और Z के बीच कोई संबंध नहीं होगा।
या तो a या b की स्थिति में:¬– असमताओं में यह बहुत महत्वपूर्ण स्थिति है। इस स्थिति में अधिकांश विद्यार्थी गलती करते हैं। अवधारणा को स्पष्ट करने के लिए हम “या तो a या b” की स्थिति का एक उदाहरण दे रहे हैं।
“या तो a या b” की स्थिति के लिए पहली शर्त है, कि दोनों निष्कर्ष गलत होने चाहिए।
दूसरी शर्त है, कि दोनों निष्कर्षों के चर समान होने चाहिए।
उदा :–
कथन: A≥B=C
निष्कर्ष: (a) A > C (b) A = C
() ()
उपर्युक्त उदाहरण में, A और C के बीच A≥C का संबंध है। लेकिन दोनों निष्कर्ष गलत हैं और दोनों में समान चर हैं। तथा दोनों निष्कर्षों को मिलाकर आपको A और C के बीच वास्तविक संबंध प्राप्त होगा, जो कथन से निकलेगा।
2. कथन: P=Q≥R≥S=T
निष्कर्ष I: (a)P>T (b)P=T
उपर्युक्त कथन से यह स्पष्ट है कि P या तो T के बराबर है या P, T से बड़ा है, अतः अकेले देखने पर दोनों ही कथन गलत हैं, लेकिन उनको मिलाने पर हम प्राप्त करेंगे कि P, या तो T से बड़ा है या बराबर है। (P≥T)
निष्कर्ष II: (a) Q>S (b) Q=S
इसी प्रकार उपर्युक्त कथन से निष्कर्ष II के लिये हम देख सकते हैं, कि Q और S के बीच या-तो वाली स्थिति है, अतः Q, या तो S से बड़ा होगा या बराबर।
“या तो a या b” की जटिल स्थिति :–
कथन: H≥M≤V=K
निष्कर्ष: (1) H<K (2) H≥K
() ()
उपर्युक्त कथन में हम H और K के बीच संबंध ज्ञात नहीं कर सकते। यहाँ H और K के बीच संबंध की तीन संभावनायें हैं।
अर्थात- (a) H>K (b) H<K (c) H=K
और हमें दोनों निष्कर्षों को मिलाने पर सभी संभावनायें प्राप्त होती हैं। अतः, यह भी “या-तो” की एक स्थिति है।
कथन: F<T≤N,F>S,M≤T<G
निष्कर्ष: I. M≥S II. S>M
उपर्युक्त प्रश्न में कथनों को एकसाथ मिलाने पर हम प्राप्त करते हैं- S<F<T≥M, अतः M और S के बीच संबंध ज्ञात नहीं कर सकते। चूँकि यहाँ तीन संभावित स्थितियां हो सकती हैं: M, S से या तो बड़ा है या छोटा है या बराबर है। निष्कर्ष I और II में, हम सभी तीनों संभावित स्थितियां ज्ञात कर सकते हैं। अतः उत्तर होगा या तो I या II अनुसरण करता है।
कथन: L≥K<E≥A>F≥B
निष्कर्ष: I.L<B II.B≤L
यह एक और उदाहरण है जिसमें B और L के बीच कोई प्रत्यक्ष संबंध नहीं दिया गया है और सभी तीनों संभावित स्थितियां- L>B, L<B या L=B हो सकती हैं। अतः उत्तर होगा या तो I या II अनुसरण करता है।
असमताओं पर आधारित प्रश्न दो प्रकार के होते हैं:–
(1) प्रत्यक्ष असमता
(2) अप्रत्यक्ष असमता