प्रिय पाठकों ,
आज हम Permutation और Combination के विषय में चर्चा करेंगे. यह विषय आसानी से आपके अंक बड़ा सकता है लेकिन आपको केवल सही सिद्धांत और विभिन्नप्रकार के प्रश्नों का अभ्यास करने की आवश्यकता है.
इकाई स्थान पर अंक1 वाली संख्या होंगी 3! = 6
आज हम Permutation और Combination के विषय में चर्चा करेंगे. यह विषय आसानी से आपके अंक बड़ा सकता है लेकिन आपको केवल सही सिद्धांत और विभिन्नप्रकार के प्रश्नों का अभ्यास करने की आवश्यकता है.
Permutation और Combination के विषय में सबकुछ
Permutation
व्यवस्था की विभिन्न संख्या Permutations कहलाती है. 4 अक्षरों से एक शब्द बनाना बिना किसी दुहराव के, permutation का एक उदाहरण है. मान लीजिये हमे 10 अक्षरोंA, B, C, D, E, F, G, H, I में से 4 अक्षरों का चयन करके 4 अक्षरों का एक शब्द बनाना है.
☞ उदाहरण के तौर पर,20 अलग वस्तुओं में से 4 अलग वस्तुओं के permutations को इस रूप में लिखा जा सकता है.
Combination
कुछ वस्तुओं के पुरे या कुछ भाग में से चुने हुए चीजों की व्यवस्था के संदर्भ के बिना चुनी हुई वस्तुओं में चीजों की व्यवस्था या चयन करने के लिए एक समूह combination कहलाता है .
उदाहरण के तौर पर,दस सदस्यों के एक परिवार में से तीन सदस्यों के चयन, 10 टीमों वाले एक समूह में क्रिकेट मैच की संख्या, एक सतह पर 20 बिंदु में से किन्ही 3 बिंदु को जोडकर बनाये गये त्रिभुजों की संख्या आदि.
☞ चिन्ह
n विभिन्न वस्तुओं में से r विभिन्न वस्तुओं के चयन की कुल संख्या.
मान लीजिये यहाँ 5 छात्र है और एक कंपनी उनमे से 3 का चयन करना चाहती है.
तो कुल तरीको की संख्या = 5 में से 3 का चयन = 5 में से 2 का त्याग.
तो कुल तरीको की संख्या = 5 में से 3 का चयन = 5 में से 2 का त्याग.
शब्द गठन
शब्द गठन गुणन के मौलिक सिद्धांत पर आधारित होता है.
☞ उदाहरण के तौर पर,जो शब्द “ACHILLES”के अक्षरों का उपयोग करके बनाये जाने वाले शब्दों की कुल संख्या 8!/2! होगी, जैसे अक्षर L दो बार उपस्थित है.
गैप नियम
गैप नियम तब उपयोग होता है जब हमे ‘n’ विभिन्न वस्तुओं को इस प्रकार व्यवस्थित करना होता है कि कोई भी दो r एक साथ ना हों. इस नियम में सबसे पहले हम (n – r) पदों को एक रेखा में लाते में जिससे प्रारंभिक छोर और अंतिम छोर के बीच (n – r + 1) का गैप होगा. अब हम इन गैप में ‘r’ वस्तुओं को रखते है की कोई भी दो वस्तुएं साथ में r ≤ n – r + 1 उपलब्ध करायें. मान लीजियेT1,T2,T3,………… T10 10 अलग वस्तुएं है और हम किन्ही भी T1,T2,T3 और T4 को व्यवस्था में एक साथ नही चाहते. सबसे पहले शेष बची वस्तुओं को रखे T5,T6……… T10
_T5_T6_T7_T8_T9_T10_
तो यहाँ 7 गैप है
तरीकों की कुल संख्या = (7.6.5.4).6!
शब्दकोश में एक शब्द की रैंक
यदि n विभिन्न अक्षरों का पयोग करके बनाये जा सकने वाले सभी n शब्दों को वर्णमाला के क्रम में एक शब्दकोश में व्यवस्थित किया जाता हैं तब वह स्थिति, जिस पर एक विशेष शब्द होता है, इसकी रैंक मानी जाती है. उदाहरण के तौर पर शब्द “RANK” के अक्षरों का उपयोग करके बिना दोहराव के 24 शब्द बनाएं जा सकते है. अब शब्द “रैंक” की स्थिति की गणना करने के लिए हम शब्दों को वर्णमाला क्रम में व्यवस्थित करते है.
अत: शब्द रैंक की स्थिति है:
3! + 3! + 3! + 1 + 1 = 20
बिना दोहराव के अंक का उपयोग करके गठन किये जा सकने वाले सभी नंबरों का योग
मान लीजिए अंक 1, 2, 3, 4 है. हम जानते हैं कि जो बिना दोहराव के बनने वाली संख्या की कुल संख्या है 4! = 24. अब
इकाई स्थान पर अंक1 वाली संख्या होंगी 3! = 6
इकाई स्थान पर अंक2 वाली संख्या होंगी3! = 6
इकाई स्थान पर अंक3 वाली संख्या होंगी 3! = 6
इकाई स्थान पर अंक4 वाली संख्या होंगी 3! = 6
अत: इकाई अंकों की संख्या का योग
= 6 × (1 + 2 + 3 + 4) = 60,
इसी तरह दसियों,सैकड़ों और हजारों स्थान पर अंकों का योग= 60
सभी संख्याओं का योग
= 60 × 1 + 60 × 10 + 60 × 100 + 60 × 1000 = 66660
सभी संख्या का योग जो ‘n’ गैर शून्य अंक का उपयोग करके बिना दोहराव के बनायीं जा सकती है.
(n – 1)! (sum of the digits) (111……n times).
(n – 1)! (sum of the digits) (111……n times).
circular Permutation
☞n अलग वस्तुओं के सर्कुलर permutations की संख्या = (n – 1)!
☞n अलग वस्तुओं के सर्कुलर permutations की संख्या =
अगर वहाँ घडी की सुई की दिशा में permutations और घडी की सुई के विपरीत दिशा में permutationsके बीच कोई अंतर नहीं है.
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